Расчет электрических цепей несинусоидального тока

Резонанс в цепи несинусоидального тока

Основы > Теоретические основы электротехники

Резонанс в цепи несинусоидального тока
При несинусоидальных напряжениях и токах явление резонанса усложняется, так как возможны отдельные резонансы гармонических составляющих.

Предположим, что источник несинусоидального напряжения, состоящего из трех гармоник, подключен к последовательному контуру (рис. 12.19).

Ток каждой из гармоник

Если, например, индуктивность L изменять от нуля до бесконечности, то действующее значение каждой из составляющих тока будет изменяться по резонансной кривой от при L = 0 до при и далее будет снижаться до нуля при .

Рис. 12.19

На рис. 12.19 штриховой линией построены резонансные кривые для трех гармонических составляющих периодического несинусоидального тока. Значения индуктивности L при резонансах обратно пропорциональны квадрату номера гармоники:
Кривая общего действующего тока
при достаточно малом r имеет три резко выраженных максимума, соответствующих резонансным значениям индуктивности.Аналогичные зависимости получаются и при изменении емкости или частоты, если, конечно, в последнем случае форма кривой напряжения остается неизменной.В цепях, содержащих источники несинусоидальных ЭДС и токов, резонансные явления могут применяться для выделения требуемых частот и, наоборот, для подавления нежелательных частот.Пример 12.10. Несинусоидальное напряжение u’ на выводах 1-1′ четырехполюсника (рис. 12.20, а) получено в результате двух-полупериодного выпрямления синусоидального напряжения с угловой частотой w (см. приложение 3, строка 9).Последовательный контур и параллельный настроены в резонанс на 2-ю гармонику 2w, т. е. .Найти действующее значение напряжения u» на выводах 2-2′ и коэффициент искажения в режиме холостого хода при следующих параметрах: .

Рис. 12.20

Решение. В напряжении u» выделяется 2-я гармоника, так как для нее сопротивление последовательного контура и проводимость параллельного контура равны нулю, в то время как для всех остальных гармоник соответствующие сопротивление и проводимость конечны и растут с номером гармоники.В режиме холостого хода, как следует из рис. 12.20, а, для каждой гармоники где
Разложив напряжение u’ в ряд по формуле, приведенной в строке 9 приложения 3, получим, что постоянная составляющая u» равна нулю (постоянного тока в последовательном контуре нет), 1 -й гармоники u» нет, так как ее не содержит напряжение u’ (нет и всех высших нечетных гармоник).Для 2-й гармоники , а , поэтому напряжения на входе и выходе четырехполюсника одинаковы: .Для 4-й гармоники , и, следовательно, .Для 6-й гармоники и .Восьмой и более высокими гармониками можно пренебречь.Таким образом, действующее напряжение на вторичных выводах
действующее напряжение основной (2-й) гармоники , и коэффициент искажения .В целях улучшения формы кривой u» целесообразно включить параллельно контуру конденсатор и обеспечить для напряжения 4-й гармоники резонанс токов в контуре при . В этом случае для 4-й гармоники , и, следовательно, .Для 6-й гармоники и получается .Действующее напряжение , и коэффициент искажения (рис. 12.20,б).Такая схема представляет собой частный случай полосового фильтра и может быть применена для увеличения частоты вдвое (умножитель частоты). На аналогичном принципе основываются утроители частоты и умножители частоты большей кратности.

Все страницы раздела «Несинусоидальные токи» на websor
Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд Максимальные, действующие и средние значения несинусоидальных периодических ЭДС, напряжений и токов Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических кривых Несинусоидальные кривые с периодической огибающей Действующие значения ЭДС, напряжений и токов с периодическими огибающими Расчет цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами Резонанс в цепи несинусоидального тока Мощность в цепи несинусоидального тока Высшие гармоники в трехфазных цепях

4.1.2 Разложение в ряд при различных видах симметрии

Периодические функции, используемые в электротехнике, чаще всего имеют симметрию. Одни из них симметричны относительно оси абсцисс, другие – относительно оси ординат или начала координат.

На рисунке 4.1 показан график функции, симметричной относительно оси абсцисс. Для такого графика:

Рисунок 4.1 – График функции, симметричной относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс значения функции повторяются с обратным знаком через половину периода, поэтому кривая второго полупериода, сдвинутая влево на π, является зеркальным отображением кривой первого полупериода.

В составе тригонометрического ряда функции, подчиняющейся условию (4.8), отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. В этом нетрудно убедиться, если записать ряды вида (4.1), для функций ƒ(ωt) и ƒ(ωt+π):

Функция ƒ(ωt+π) отличается от ƒ(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный знак:

Согласно условию (4.8) ƒ(ωt)+ƒ(ωt+π)=0 Тогда

При любом значении ωt это равенство возможно, если A=0; A2=0; A4=0 и т.д.

Таким образом, кривая, симметричная относительно оси абсцисс, выражается тригонометрическим рядом следующего вида:

Симметрию относительно оси ординат имеют кривые, у которых при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются (рис.4.2):

Рисунок 4.2 – Симметрия относительно оси ординат

Функция, симметричная относительно оси ординат, не содержит синусов:

В этом можно убедиться без математического доказательства. Действительно, входящие в состав ряда (17.4) косинусы симметричны относительно оси ординат, а синусы несимметричны. Если функция в целом симметрична относительно оси ординат, то это возможно лишь при отсутствии синусов. Наличие же постоянной составляющей не нарушает симметрии такого вида.

Симметрия относительно начала координат (рис. 17.3) соответствует условию:

Нетрудно заметить, что в данном случае в обеих половинах периода имеются две равные по величине ординаты с разными знаками. Поэтому среднее значение функции за период, или постоянная составляющая, равно нулю. Отсутствуют и несимметричные относительно начала координат косинусоидальные составляющие.

Рисунок 4.3 – — Симметрия относительно начала координат

Функция имеет только ряд синусов, обладающих симметрией такого же характера, как и функция в целом:

4.1.3 Действующее значение несинусоидального тока

Как известно, действующее значение синусоидального тока численно равно такому постоянному току, при котором выделяется столько же тепла, сколько его выделяется при переменном токе в одинаковом сопротивлении за одинаковое время, равное одному периоду Т. Из такого же условия определяется действующее значение переменного несинусоидального тока.

При этом необходимо учесть, что несинусоидальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда синусоидальных гармоник:

Очевидно, общее количество тепла, которое выделяется при несинусоидальном токе в некотором элементе цепи с сопротивлением R в течение одного периода Т, будет равно сумме количеств тепла от всех его составляющих:

где Q – тепло, выделяемое за один период Т при несинусоидальном токе, действующее значение которого равно I:

Q – тепло, выделяемое за то же время при токе, равном постоянной составляющей:

За время периода T&subk; при токе, равном k-й составляющей, выделяется тепло

где Ik – действующее значение тока k-ой гармоники.

За время, равное периоду основной гармоники, выделится в k раз больше тепла:

После подстановки в (4.18) получим:

Или

Отсюда следует, что действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной из постоянной составляющей и действующих значений синусоидальных составляющих этого тока:

Аналогичное выражение можно получить и для действующего значения несинусоидального напряжения:

Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений измеряются электроизмерительными приборами тепловой, электромагнитной и электродинамической систем.

Несинусоидальные периодические кривые характеризуются коэффициентом искажения, который равен отношению действующих значений основной гармоники и всей функции:

Для синусоиды kи=1.

Другие разделы главы 4:

  • Введение
  • 4.1 Периодические несинусоидальные токи и напряжения в линейных электрических цепях
  • 4.2 Мощность в электрической цепи при несинусоидальном токе
  • 4.3 Расчет электрических цепей с несинусоидальными ЭДС и токами
  • 4.4 Влияние параметров L и C на форму кривой тока и напряжения
  • 4.5 Резонансные явления при несинусоидальных токах
  • 4.6 Электрические фильтры
  • 4.7 Особенности высших гармоник в трехфазных цепях

В схеме высокочастотного лампового генератора

В схеме высокочастотного лампового генератора, изображенного на рис. 12.15, а, известны анодный ток i электронной лампы Л, и ЭДС источника питания. Этот ток при заданных напряжениях на сетке и аноде электронной лампы (в амперах)

Найти ток в источнике питания и гок в конденсаторе .

Решение. Для определения токов и напряжений необходимо независимо рассчитать три схемы, изображенные на рис. 12.15, б -г. На схемах показаны ЭДС , токи источников различных частот и значения параметров.

Рис. 12.15

Рис. 12.16

Рассчитав токи в каждой из схем, получаем округленно для постоянной составляющей , для 1-й гармоники , для 2-й гармоники .

Просуммировав мгновенные значения различных гармонических составляющих, получим

На рис. 12.16 построен график составляющих и результирующего тока . Так как по оси абсцисс отложено , то при построении синусоиды 2-й гармоники начальная фаза (90°) разделена на номер гармоники .

Пример 12.9. 

4.1.1 Разложение периодических несинусоидальных функций в гармонический ряд

Аналитическое описание несинусоидальной периодической функции осуществляется с помощью теоремы Фурье, согласно которой любая периодическая функция ƒ(ωt) может быть представлена в виде суммы ряда составляющих, из которых одна составляющая постоянная, а другие являются синусоидальными функциями с кратными частотами (гармонические составляющие или просто гармоники).

где A; – постоянная составляющая (нулевая гармоника);

А1, А2;, А3;, Аk; – амплитуды гармонических составляющих;

φ1, φ2, φ3, φk – начальные фазы соответствующих гармоник.

Первая гармоническая составляющая имеет период, равный периоду несинусоидальной кривой ƒ(ωt). Она называется первой или основной гармоникой.

Все другие гармонические составляющие имеют частоты, в целое число раз большие частоты первой гармоники. Эти гармоники называются высшими.

Выражение 4.1 можно преобразовать, применив известную из тригонометрии формулу синуса суммы двух углов:

Обозначив постоянные величины Ak;Cosφk=Bk, AkSinφk=Ck, получим:

Применяя подобную запись ко всем гармоническим составляющим, несинусоидальную функцию можно представить так:

Особенность такой записи состоит в том, что гармоники составляют ряд синусов и ряд косинусов с нулевыми начальными фазами.

Коэффициенты A; Bk; Ck ряда определяются при помощи следующих формул:

Если закон изменения ординат кривой можно выразить аналитически, то выражения (4.5) – (4.7) позволяют в большинстве случаев выполнить аналитически разложение в тригонометрический ряд вида (4.4) и далее, если требуется перейти к ряду (4.1). Постоянная составляющая, как видно из формулы (4.5), является средним значением функции за ее период.

Таким образом, постоянная составляющая в тригонометрическом ряду отсутствует, если среднее за период значение функции равно нулю.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: